关于超几何分布期望详细证明，相关内容如下：
超几何分布的期望为：\mathbb{E}[X]=\frac{nN_1}{N}。
一、超几何分布概述
超几何分布是概率论中一种离散概率分布，通常用于描述如随机抽样等领域。其与二项分布有些类似，但与二项分布不同的是，它的每次实验并不是独立进行的，而是与前一次实验有关联的。
二、求超几何分布的期望
对于一个超几何分布随机变量X，表示从一共拥有N个物品中选n个物品，并且其中有N_1个具有某个特定性质的物品，那么它的概率质量函数为：
\mathrm{P}(X=k)=\dfrac{\binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}
现在我们来计算其期望。
\mathbb{E}[X]=\sum_{k=0}^{n}{k\cdot\mathrm{P}(X=k)}
将上述概率质量函数代入得：
\begin{aligned}\mathbb{E}[X]&=\sum_{k=0}^{n}{k\cdot\frac{\binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}}\\&=\sum_{k=0}^{n}{\frac{k\binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}}\\&
=\sum_{k=0}^{n}{\frac{k\frac{N_1!}{k!(N_1-k)!}\cdot\frac{(N-N_1)!}{(n-k)!(N-N_1-(n-k))!}}{\frac{N!}{n!(N-n)!}}}\\&=\frac{nN_1}{N}\end{aligned}
三、证明过程
上式的推导可以通过对期望的定义和组合数学的知识来完成。
首先，我们来看期望的定义：
\mathbb{E}[X]=\sum_{i=1}^{n}{x_i\mathrm{P}(X=x_i)}
其中，\mathrm{P}(X=x_i)表示随机变量X取值为x_i的概率。对于超几何分布，其中每个样本取到的概率是不等的，方便起见，我们设其中有k个物品具有特定性质，则选出k个物品的方案数为\binom{N_1}{k}。
同理，选出n-k个非特定物品的方案数为\binom{N-N_1}{n-k}。而在总共N个物品中选取n个的方案数为\binom{N}{n}。因此，有以下概率质量函数：
\mathrm{P}(X=k)=\dfrac{\binom{N_1}{k}\binom{N-N_1}{n-k}}{\binom{N}{n}}。
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