中国的数学发展史

大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” 和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。 现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。 古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。 小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如13.56作1356 。 在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。 宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。 (二)属于代数方面的材料 从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。 “九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。 我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。 一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。 具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。 十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。 在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。 级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。 历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。 内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。 十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。 就是到十八，九世纪由李锐(1773—1817)，汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。 (三)属于几何方面的材料 自明朝后期(十六世纪)欧几里得“几何原本”中文译本一部分出版之前，中国的几何早已在独立发展着。应该重视古代的许多工艺品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蕴藏了丰富的几何知识。 中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内己有规和矩二个字，规是用来画圆的，矩是用来画方的。 汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理(勾股二个字的起源比较迟)。 圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置。墨子对圆的定义是：“圆，一中同长也。”—个中心到圆周相等的叫圆，这解释要比欧几里得还早一百多年。 在圆周率的计算上有刘歆(？一23)、张衡(78—139)、刘徽(263)、王蕃(219—257)、祖冲之(429—500)、赵友钦(公元十三世纪)等人，其中刘徽、祖冲之、赵友钦的方法和所得的结果举世闻名。 祖冲之所得的结果π=355/133要比欧洲早一千多年。 在刘徽的“九章算术”注中曾多次显露出他对极限概念的天才。 在平面几何中用直角三角形或正方形和在立体几何中用锥体和长方柱体进行移补，这构成中国古代几何的特点。 中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果． 正好说明十八、九世纪中国数学家对割圆连比例的研究和项名达(1789—1850)用割圆连比例求出椭圆周长。这都是继承古代方法加以发挥而得到的(当然吸收外来数学的精华也是必要的)。 (四)属于三角方面的材料 三角学的发生由于测量，首先是天文学的发展而产生了球面三角，中国古代天文学很发达，因为要决定恒星的位置很早就有了球面测量的知识；平面测量术在“周牌算经”内已记载若用矩来测量高深远近。 刘徽的割圆术以半径为单位长求圆内正六边形，十二二边形等的每一边长，这答数是和2sinA的值相符(A是圆心角的一半)，以后公元十二世纪赵友钦用圆内正四边形起算也同此理，我们可以从刘徽、赵友钦的计算中得出7.5o、15o、22.5o、30o、45o等的正弦函数值。 在古代历法中有计算二十四个节气的日晷影长，地面上直立一个八尺长的“表”，太阳光对这“表”在地面上的射影由于地球公转而每一个节气的影长都不同，这些影长和“八尺之表”的比，构成一个余切函数表(不过当时还没有这个名称)。 十三世纪的中国天文学家郭守敬(1231—1316)曾发现了球面三角上的三个公式。 现在我们所用三角函数名词：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，这都是我国十六世纪已有的名称，那时再加正矢和余矢二个函数叫做八线。 在十七世纪后期中国数学家梅文鼎(1633—1721)已编了一本平面三角和一本球面三角的书，平面三角的书名叫“平三角举要”，包含下列内容：(1)三角函数的定义；(2)解直角三角形和斜三角形；(3)三角形求积，三角形内容圆和容方；(4)测量。这已经和现代平面三角的内容相差不远，梅文鼎还著书讲到三角上有名的积化和差公式。 十八世纪以后，中国还出版了不少三角学方面的书籍。

数学历史问题

七巧板与勾股定理

“七”这个数字古人认为是非常吉利的数字，这种七块有规则的木板拼图，被称做七巧板。这七块板子由五块相似的等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，你能找到将它们拼成一个正方形的方法吗？试试将它们拼成两个正方形，再试试将它们拼成一个长方形，或一个平行四边形，所有这些都具有一定的挑战性！七巧板的流行大概是由于它结构简单、操作容易、明白易懂的缘故，你可以用它随意地拼出你自己设计的图样，但如果你想用七巧板拼出特定的图案，那就会遇到真正的挑战。因为它那简单的结构，很容易使人误认为要解决它的问题也很容易，用七巧板拼出的图案超过1600种，其中有些是容易解决的，另一些却相当诡秘，还有一些则似是而非充满了矛盾。

七巧板不仅仅是一个玩具，1813年出版的《七巧图合璧》一书中称，“七巧源于勾股法”，这是最早将七巧玩具与数学相联系的记载。

勾股定理在中国可以追溯到周代，在《周髀算经》里面记载的周公与商高有段对话，说明了勾股定理。到了三国时代，有一个数学家叫赵爽，他就给出了一个图，叫弦图，利用这张弦图，它给出了一个很简洁而非常优美的证明。

中国的古人巧妙地把这种数和形结合起来，把数学中最基本的问题趣味化、日常生活化，就变成了玩具。而且中国古代这种玩具，既有实用性，又有教育性。

七巧图历史渊远流长，图板形状规范、典雅大方，分割既科学又巧妙，体现出深厚的中华文化底蕴。虽然是妇孺皆知的玩具，却包含着丰富的文化、数学、哲学、美学的内涵。七巧板最显著的特点，就是全部图板都以“矩”为基础构成。七巧游戏可以说是“矩”的游戏，我们的祖先对“矩”情有独钟，很早就开始研究和应用“矩”。

因为七巧板的基本图形就是一个三角形，这个三角形在古代叫做矩，据说开天辟地的始祖伏羲和女娲，他们创世纪的时候所拿的工具就是圆规和三角尺，三角尺为矩，那么七巧板所有的图形都是这样的。

谁能猜到七巧板居然会跟拿破仑、亚当、杜雷、爱伦坡以及卡洛尔等人发生关系？而实际上他们全都是七巧板的狂热爱好者。以色列教育部卡雅教育学院教育家艾达·卡特萨普所著的《玩的工具》一书中，对我国的玩具作了大量的分析和介绍。书中有一幅18世纪的版画，内容是清晨五点，夫妇俩因为专心解读中国的七巧板，连孩子也被放在了一边。

华容道与博弈论

我国的古典数学玩具，不但体现出中华民族的优秀文化，还涉及到几何学、运筹学、图论、博弈论多门学科。华容道游戏就是博弈论的代表作。

传说在上古时代有人在洛河中发现了一只乌龟，乌龟的背上有一个图形，古人把它叫做《洛书》，它就是数学中的三阶幻方。在此基础上，产生了唐宋时代风行的“重排九宫”游戏。后人为增加难度，把重排九宫游戏中的棋子设计得有大有小，还把游戏中的内容和三国中曹操败走华容道的故事联系在一起，这就成了我们熟悉的华容道了。

华容道游戏取自著名的三国故事，曹操在赤壁大战中被迫退逃到华容道，又遇上诸葛亮的伏兵，关羽为了报答曹操对他的恩情，明逼实让，终于帮助曹操逃出了华容道。游戏就是依照“曹瞒兵败走华容，正与关公狭路逢。只为当初恩义重，放开金锁走蛟龙”这一故事情节，通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方，从出口逃走。“华容道”有一个带20个小方格的棋盘，代表华容道。棋盘下方有一个两方格边长的出口，是供曹操逃走的。棋盘上共摆有10个大小不一的棋子，仅有两个小方格空着，玩法就是通过这两个空格移动棋子，用最少的步数把曹操移出华容道。每移动一步都要决定下一步怎么走，这在数学里是博奕论研究的对象，如果精通博奕论，华容道会走得相当好。你要从众多的移动方式中找到几种方式能够成功。

1956年的数学家们还没有高速的计算机，他们只能用手写方程式的方法叙述着数学玩具的魔力。数学家充实了玩具的生命，也增加了它的魅力。

现在有许多科学家、计算机专家，把玩这种玩具的方式用电脑来解开，找到最少步骤的玩法是81步。

鲁班锁与榫卯结构

早在新石器时代，河姆渡的原始居民就用木头创造了干栏式建筑，从而发明了用榫卯方式连接两个木结构，这种连接方式举世闻名。它是我国古老建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式，工艺精确，扣合严密，两块木结构彼此间可以说是天衣无缝。

中国古代建筑的特征，就是用榫卯而不要用铁钉、胶水，这种榫卯的构造就比较复杂，像这样的东西逐步发展到后面，就有所谓的“鲁班锁”。

榫卯作为木质结构的方式和技术形式是内在的，一般不为人所注目，但它却是工匠艺人必须具备的基本技能。工匠的手艺高低，通过榫卯的结构能清楚地反映出来。我国民间艺人为了使自己的工艺传授给后代，直接从建筑结构中切取一块构造，让自己的弟子学习，这种木块构造也就是“鲁班锁”这种玩具的雏形。

“鲁班锁”利用6根中间有缺口的短木，彼此间搭配合理，就可以紧密地形成为一个整体。清代的《鹅幻汇编》一书中称鲁班锁为“益智之具”。

在民间的发展过程中，为教育儿童、锻炼他们的空间观察能力、思考能力，就发明了这种鲁班锁，这种鲁班锁从南到北，从东到西都有流传。

由榫卯这种木结构的奠基，使得我国千年的建筑更加厚实。祖先为传接自己技艺所创制的结构，如今已成为了老少皆宜的玩具。玩具对一个人的成长有着不可磨灭的影响，经典的玩具则可以融入一个民族的发展，映出一个民族的文化。

九连环与模糊数学

依据拓扑学原理设计的九连环，和华容道、鲁班锁一样，都是在简单之中包含着大智慧。九连环历史非常悠久，《战国策》中记载为“玉连环”。宋朝以后，九连环开始广为流传。在明清时期，上至达官贵人，下至贩夫走卒，都特别钟爱。曹雪芹在《红楼梦》中记述有林黛玉巧解九连环的故事。在国外，数学家卡尔达诺在公元1550年已经提到了九连环。后来，19世纪的格罗斯深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。

九连环主要由9个圆环及框架组成。每一个圆环上都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，9个直杆的另一端用板或圆环相对固定住。

圆环在框架上可以解下或套上。玩九连环就是要把这9个圆环全部从框架解下或套上。九连环的玩法比较复杂，无论解下还是套上，都要遵循一定的规则。格罗斯经过运算，证明共需要341步，到目前为止还没有其他更为便捷的答案。

1975年曾有一本关于离散数学的书，其中收录了这样一个数列：1，2，5，10，21，42，85，170，341……这就是“九连环”的数列。

令人惊诧的是，古人制作或者创造九连环的时候，并不是依据后人分析的数字而制作。

在数学还不发达的当时，古人就能够创造出今天的数学家才能分析解答的难题，这不能不说是奇迹。在古人留给我们的宝贵财富中，至少，这些益智玩具占有重要地位，它们也是古代文明的直接见证。

九连环环环相扣，互相制约，只有第一环能够自由上下，在任何正常状态下，都只有两条路可走：上某环和下某环，别的环动不了。最关键的秘诀是：上中有下，下中有上。

这又有了一种哲理，也许，这正是九连环经久不衰的原因吧，它除了能够益智健身和留下数学之谜外，还可以催人思索对待事物的方法和解决问题的技巧。

这是世界数学发展史：

1（前3500-前500）数学起源与早期发展： 古埃及数学、美索不达米亚（古巴比伦）数学

2（前600-5世纪）古代希腊数学：论证数学的发端、欧式几何

3（3世纪-14世纪）中世纪的中国数学、印度数学、阿拉伯数学：实用数学的辉煌

4（12世纪-17世纪）近代数学的兴起：代数学的发展、解析几何的诞生

5（14世纪-18世纪）微积分的建立：牛顿与莱布尼茨的微积分建立

6（18世纪-19世纪）分析时代：微积分的各领域应用

7（19世纪）代数的新生：抽象代数产生（近世代数）

8（19世纪）几何学的变革：非欧几何

9（19世纪）分析的严密化：微积分的基础的严密化

10二十世纪的纯粹数学的趋势

11二十一世纪应用数学的天下

中国数学发展史

中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。

(一)属于算术方面的材料

大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”

和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。

现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。

古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。

小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如13.56作1356 。在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。

宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。

(二)属于代数方面的材料

从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。

“九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。

我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。

十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。

在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。

级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。

历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。

内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。

十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。

就是到十八，九世纪由李锐(1773—1817)，汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。

(三)属于几何方面的材料

自明朝后期(十六世纪)欧几里得“几何原本”中文译本一部分出版之前，中国的几何早已在独立发展着。应该重视古代的许多工艺品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蕴藏了丰富的几何知识。

中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内己有规和矩二个字，规是用来画圆的，矩是用来画方的。

汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理(勾股二个字的起源比较迟)。

圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置。墨子对圆的定义是：“圆，一中同长也。”—个中心到圆周相等的叫圆，这解释要比欧几里得还早一百多年。

在圆周率的计算上有刘歆(？一23)、张衡(78—139)、刘徽(263)、王蕃(219—257)、祖冲之(429—500)、赵友钦(公元十三世纪)等人，其中刘徽、祖冲之、赵友钦的方法和所得的结果举世闻名。

祖冲之所得的结果π=355/133要比欧洲早一千多年。

在刘徽的“九章算术”注中曾多次显露出他对极限概念的天才。 在平面几何中用直角三角形或正方形和在立体几何中用锥体和长方柱体进行移补，这构成中国古代几何的特点。

中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果．

正好说明十八、九世纪中国数学家对割圆连比例的研究和项名达(1789—1850)用割圆连比例求出椭圆周长。这都是继承古代方法加以发挥而得到的(当然吸收外来数学的精华也是必要的)。

(四)属于三角方面的材料

三角学的发生由于测量，首先是天文学的发展而产生了球面三角，中国古代天文学很发达，因为要决定恒星的位置很早就有了球面测量的知识；平面测量术在“周牌算经”内已记载若用矩来测量高深远近。

刘徽的割圆术以半径为单位长求圆内正六边形，十二二边形等的每一边长，这答数是和2sinA的值相符(A是圆心角的一半)，以后公元十二世纪赵友钦用圆内正四边形起算也同此理，我们可以从刘徽、赵友钦的计算中得出7.5o、15o、22.5o、30o、45o等的正弦函数值。

在古代历法中有计算二十四个节气的日晷影长，地面上直立一个八尺长的“表”，太阳光对这“表”在地面上的射影由于地球公转而每一个节气的影长都不同，这些影长和“八尺之表”的比，构成一个余切函数表(不过当时还没有这个名称)。

十三世纪的中国天文学家郭守敬(1231—1316)曾发现了球面三角上的三个公式。 现在我们所用三角函数名词：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，这都是我国十六世纪已有的名称，那时再加正矢和余矢二个函数叫做八线。

在十七世纪后期中国数学家梅文鼎(1633—1721)已编了一本平面三角和一本球面三角的书，平面三角的书名叫“平三角举要”，包含下列内容：(1)三角函数的定义；(2)解直角三角形和斜三角形；(3)三角形求积，三角形内容圆和容方；(4)测量。这已经和现代平面三角的内容相差不远，梅文鼎还著书讲到三角上有名的积化和差公式。十八世纪以后，中国还出版了不少三角学方面的书籍。