“割圆术”出现在哪本书中里？

我国在先秦产生了无穷小分割的若干命题。随着人们认识水平的逐步提高，至南北朝时期，无穷小分割思想已经基本成熟，并被数学家刘徽运用到数学证明中。

我国古代的无穷小分割思想不仅是我国古典数学成就之一，而且包含着深刻的哲学道理，在人们发现、分析和解决实际问题的过程中，发挥了积极作用。

刘徽在人类历史上首次将无穷小分割引入数学证明，是古代无穷小分割思想在数学中最精彩的体现。

相传很久以前，黄河里有一位河神，人们叫他河伯。河伯站在黄河岸上。望着滚滚的浪涛由西而来，又奔腾跳跃向东流去，兴奋地说：“黄河真大呀，世上没有哪条河能和它相比。我就是最大的水神啊！”

有人告诉他：“你的话不对，在黄河的东面有个地方叫渤海，那才真叫大呢！”河伯说：“我就不信，渤海再大，它能大得过黄河吗？”那人说：“别说一条黄河，就是几条黄河的水流进渤海，也装不满它。”河伯固执地说：“我没见过渤海，我不信。”那人无可奈何，告诉他：“有机会你去看看渤海，就明白我的话了。”秋天到了，连日的暴雨使大大小小的河流都注入黄河，黄河的河面更加宽阔了，隔河望去，对岸的牛马都分不清。这一下，河伯更得意了，以为天下最壮观的景色都在自己这里，他在自得之余，想起了有人跟他提起的渤海，于是决定去那里看看。

河伯顺着流水往东走，到了渤海，脸朝东望去，看不到水边。只见大海烟波浩渺，直接天际，不由得内心受到极大震撼。

河伯早已收起了欣喜的脸色，望着海洋，对着渤海叹息道：“如今我看见您的广阔无边，我如果不是来到您的家门前，那就危险了，因为我将永远被明白大道理的人所讥笑。”

渤海神闻听河伯这样说，知道他提高了认识，就打算解答他的一些疑问。

其中有一段是这样的。

河伯问：“世间议论的人们总是说：‘最细小的东西没有形体可寻，最巨大的东西不可限定范围’。这样的话是真实可信的吗？”

渤海神回答：“从细小的角度看庞大的东西不可能全面，从巨大的角度看细小的东西不可能真切。精细，是小中之小；庞大，是大中之大。大小虽不同却各有各的合宜之处，这是事物固有的态势。”

“所谓精细与粗大，仅限于有形的东西，至于没有形体的事物，是不能用计算数量的办法来分的；而不可限定范围的东西，更不是用数量能够精确计算的。”

上述故事选自被称为“天下第一奇书”的《庄子》的《秋水》篇，这篇文章是人们公认的《庄子》书中第一段文字。因为此篇最得庄周汪洋恣肆而行云流水之妙。

其实，这段对话中说的至精无形、无形不能分的思想，可以看作是作者借河神和海神的对话，阐述了当时的无穷小分割思想。

早在我国先秦时期、西周时期数学家的商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。在《周髀算经》中，商高回答周公旦的问话中说得一清二楚。

圆既然出于方，为什么圆又归不了方呢？是世人没有弄清“圆出于方”的原理，而错误地定出了圆周率而造成的。

商高“方圆之法”，即求圆于方的方法，渗透着辩证思维。“万物周事而圆方用焉”，意思是说，要认识世界可用圆方之法；“大匠造制而规矩设焉”，意思是说，生产者要制造物品必然用规矩。

可见“圆方”包容着对现实天地的空间形式和数量关系的认识，而“数之法出于圆方”，就是在说数学研究对象就是“圆方”，即天地，数学方法来之于“圆方”。亦即数学方法源于对自然界的认识。

“毁方而为圆，破圆而为方”，意思是说，圆与方这对矛盾，通过“毁”与“破”是可以互相转化的。认为“方中有圆”或“圆中有方”，就是在说“圆”与“方”是对立的统一体。

这就是商高的“圆方说”。它强调了数学思维要灵活应用，从而揭示出人的智力、人的数学思维在学习数学中的作用。认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。

战国时期的“百家争鸣”也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。

名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不正，不可为方；规不正，不可为圆”，认为圆可以无限分割。

墨家则认为，名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义，例如圆、方、平、直、次、端等。

墨家不同意圆可以无限分割的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。

名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论，对我国古代数学理论的发展是很有意义的。

汉司马迁《史记?酷吏列传》以“破觚而为圜”比喻汉废除秦的刑法。破觚为圆含有朴素的无穷小分割思想，大约是司马迁从工匠加工圆形器物化方为圆、化直为曲的实践中总结出来的。

上述这些关于“分割”的命题，对后来数学中的无穷小分割思想有深刻影响。

我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的这个公式。

为了证明这个公式，魏晋时期数学家刘徽撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记。这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。

刘徽用“差幂”对割到192边形的数据进行再加工，通过简单的运算，竟可以得到3072边形的高精度结果，附加的计算量几乎可以忽略不计。这一点是古代无穷小分割思想在数学中最精彩的体现。

刘徽在人类历史上首次将无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。

一、世界第五长河

黄河，世界第五长河，一条5464公里长的大河，在中国北方 蜿蜒流动。从高空俯瞰，它恰似一个巨大的"几"字，又隐隐就是我 们民族那独一无二的图腾。

二、黄河的表征

它不仅仅是一条大河。黄河，黄土地，皇帝，黄皮肤，这一切**表征，把这条流经中华心脏地区的浊流升华为圣河。《汉书．沟洫 志》就把黄河尊为百川之首："中国川源以百数，莫著于四渎，而河 为宗。"

三、黄土风成说

在久远的地质年代，在亚洲内陆的沙漠戈壁，遍地砂石在骤冷骤 热的严酷环境中被支解粉碎，直至形成粉末。内陆盛行的西北气流， 经年累月地把它们吹向东方，粗砂落于蒙古高原，最细腻的粉末随风 飘落到今天甘肃、陕西、山西、青海、宁夏、河南6省。千百万年的 搬运堆积，终于形成了一个北起长城，南至秦岭，西抵日月山，东达 太行山的黄土高原。

四、深厚广阔的黄土层

这是一片无与伦比的黄土，它的面积广达41万平方公里，黄土 覆盖厚度一般在100米以上。而陇东、陕西、晋西等地，黄土深达 100到200米，兰州地区更厚达300米以上。

五、六千年前的伊甸园

植物学家们研究发现，虽然黄土高原的降水不如南方丰沛，但养 分的淋溶损失也较少，非常适合杨树、桦树、栎树、油松、云杉和酸 枣、黄荆条等生长。那时繁茂的植被，涵养着一个温暖多雨的伊甸园。 今天山西、陕西、甘肃、宁夏等省份，分布着大片原始森林。地处中 原的河南省简称为"豫"，显示在仓颉造字的时代，它仍是大象出没 之地。

六、历史兴盛的基础

地质学家们发现，黄土具备优良的解理性，适合开掘窑洞居住； 农学家们发现，黄土中各种矿物营养物质丰富，具有较高的天然肥力。 先民们渐渐在这片黄土地上开凿窑洞居住，种植五谷为生。5000 多年前，皇帝、炎帝的部落兴盛起来，华夏先祖的足迹踏遍了黄土地。 随后的日子里，中国第一个王朝夏兴盛于此，立国800年的周朝源 起于此，而横扫六合，一统天下的秦帝国也勃兴于此。

七、远古时代文明的启蒙

在160多万年前的山西芮城西候度人类活动遗址中，人们找到 了被火烧过的动物化石和鹿角化石，在100万年前的山西蓝田人类遗址中，人们找到了多处碳末堆积。

从那以后，蓝田人、大荔人、丁村人、河套人，都在黄河的臂湾里繁衍生息。直到6000年前，黄土地上出现了以半坡文明为代表 的母系氏族文化。

我们的祖先，就在这样一片绿野间狩猎采集，度过了华夏文明 的金色童年。

八、历史记述改造自然的功绩

这里确实最早沐浴了文明之光，这里也难免最早被受了文明之火。 上古传说，神农氏曾教民稼穑。耐人寻味的是，神农就是炎帝，也就 是火神，他所传授的实际上是焚林垦殖。

《孟子》中记载了三皇五帝烧山林的"功绩"： "当尧之时．．．草木畅茂，禽兽繁殖，五谷不登，禽兽逼人．．．尧独忧之，举舜而敷治焉。舜使益掌火。益烈山泽而焚之，禽兽逃匿。"

在诗经中，我们听到了先民们砍伐时的吟唱： "侃侃伐檀兮，置之河之干兮，河水清且涟漪。""伐木叮叮， 鸟鸣嘤嘤。"

九、黄土高原植被第一次受大损

始皇帝统一六国，大量人口随之进入关中，垦殖面积大增。与此同 时，他大兴土木，建造宫殿陵寝，大肆砍伐关中山地森林，始皇三十三 年（公元前214年），蒙恬击溃匈奴，取得河套地区大片土地，随后 实行屯垦戍边，多次向鄂尔多斯高原地区移民，每次人数多达数十万， 原本一望无际的草原变成了农耕区。

十、黄土高原森林第二次受大损

西汉时期，天下大治，中国人口激增至6000万。向西北开拓移 民成为解决人口膨胀压力的主要手段，仅汉武帝时期，就向西北边塞迁 徙了70余万人口。西汉将匈奴赶到遥远的漠北，将大片林牧区变成了 农耕区。西汉在河套开发的引黄灌溉工程，是以宁夏内蒙的贺兰山森林 和陕北森林的大破坏为代价的。

参考资料：

回答者： 天神战神2 - 一级 2010-3-8 18:52

中国古代也称河，发源于中华人民共和国青海省巴颜喀拉山脉，流经青海、四川、甘肃、宁夏、内蒙古、陕西、山西、河南、山东9个省区，最后于山东省东营垦利县注入渤海。干流河道全长5464千米，仅次于长江，为中国第二长河。黄河还是世界第五长河。

黄河从源头到内蒙古自治区托克托县河口镇为上游，河长3472千米；河口镇至河南郑州桃花峪间为中游，河长1206千米；桃花峪以下为下游，河长786千米。（黄河上、中、下游的分界有多种说法，这里采用黄河水利委员会的划分方案）黄河横贯中国东西，流域东西长1900千米，南北宽1100千米，总面积达752443平方千米。

黄河多年平均流量1774.5立方米/秒，全河多年平均天然径流量580亿立方米，流域平均年径流深77毫米，流域人均水量593立方米，耕地亩均水量324立方米。

黄河中游河段流经黄土高原地区，支流带入大量泥沙，使黄河成为世界上含沙量最多的河流。最大年输沙量达39.1亿吨（1933年），最高含沙量920千克/立方米（1977年）。三门峡站多年平均输沙量约16亿吨，平均含沙量35千克/立方米。

长度 5464 km

源头海拔 4800 m

平均流量 1774.5 m?/s

流域面积 752443 km?

源头 青海省

注入 渤海

流经国家 中华人民共和国

黄河,是中华民族的母亲河.作为中华文明的发祥地,维系炎黄子孙的血脉.是中华民族民族精神与民族情感的象征。

黄河，像一头脊背穹起，昂首欲跃的雄狮，从青藏高原越过青、甘两省的崇山峻岭；横跨宁夏、内蒙古的河套平原；奔腾于晋、陕之间的高山深谷之中；破“龙门”而出，在西岳华山脚下调头东去，横穿华北平原，急奔渤海之滨。它流经9个省、区，汇集了40多条主要支流和1000多条溪川，行程5464公里，流域面积达75万多平方公里，是中国第二大河。全流域年平均降水400毫米左右，而黄河平均年径流总量仅574亿立方米，在中国河流中居第八位。流域内，连同下游豫、鲁沿河地区共有2亿多亩耕地，1亿左右人口。黄河水利资源丰富，流域内地下矿藏众多，各族人民世世代代在这里辛勤劳动，创造了光辉灿烂的古代文化，成为中华民族的摇篮。

关于黄河的源头历史上曾有过多种说法。早在公元7世纪上半叶，就有人提出卡日曲是黄河的正源，但没有被公认。公元1280年元朝的都实和1704年清朝的拉锡，为探求河源曾到达星宿海。因此，星宿海为河源的说法已经流传多年。新中国成立后，1952年8月黄河水利委员会组织河源考察队，又把约古宗列曲作为黄河正源。20多年来，虽然以错就错，但也有不少人提出疑问。直到1978年夏天，再次组织河源考察队，伸入河源地区实地查勘，查清在河源地区西部，有3条河流汇入星宿海，它们是扎曲、约古宗列曲和卡日曲。扎曲流程最短，水量又小，只能算作约古宗列曲的一条支流。约古宗列曲和卡日曲相比，卡日曲较约古宗列曲长近30公里，流域面积多700平方公里，水量也大2倍多。因此，确定卡日曲为黄河正源的依据较为充分。卡日曲发源于巴颜喀拉山北麓的各姿各雅山，各姿各雅山海拔4 800米，山脚下几个泉眼溢出的清水，就是“咆哮万里触龙门”的黄河最初水流。

中华民族的摇篮

“黄河，你是中华民族的摇篮，5000年的古国文化，从你这儿发源……”这是人们熟知的歌曲《黄河颂》的歌词。每当人们唱起这首歌的时候，就会浸沉在对黄河的无限追忆之中。

早在80万年以前的旧石器时代，中华民族的祖先就在黄河流域过着狩猎、采集的生活。在黄河流域内已经发现了2000多处原始村落的遗址，它表明，在新石器时代，祖先们就在这辽阔的土地上定居，从事原始的农业生产。

新石器时代中期，散布在黄河中游黄土高原上的黄帝族，和当时的蚩尤族、炎帝族同为中国远古时代的3个部族。他们过着迁徙不定的游牧生活。后来炎帝联合黄帝攻杀了蚩尤。不久，炎帝族和黄帝族的人民逐渐融合，并定居在陕、甘、晋地区，共同开发黄河中下游地区。

3500多年前进入奴隶社会的夏、商、周王朝都是黄帝的后裔。他们自称“华”或“夏”。华族就是汉族的前身，所以汉族人民都把黄帝奉为始祖，自称为黄帝（也称炎黄）的子孙。当时的华族居住在中原地区，人们认为中原居四方之中，故又称这一带为“中华”。后来，华族的文化向全国各地传播，“中华”二字便成了整个中国的名称。

商王朝的盘庚迁都殷墟（今河南省安阳县），他的势力范围已达太行山与泰山之间的华北大平原，称为殷帝国。殷朝的文化相当发达，与当时的埃及、巴比伦并称为3个古代帝国，是世界古代三大文化中心。在殷墟，至今还保存着刻画挺秀、文句严密的甲骨书和美丽细致的青铜器皿。可是，在3个古代帝国以外的世界上，大多数人类还过着原始生活。由此可见，我们的祖国是世界文化古国之一，古国的文化就在黄河的怀抱里发祥。

殷朝以后，直至北宋，近2500年，黄河流域一直是中国政治、经济和文化中心。西安（古称长安），从西汉至隋唐，先后有11个朝代建都于此，历时 1100多年，不仅为中国古代经济、文化的发展作出了重要贡献，而且为国际间经济、文化交流留下了不朽的篇章。洛阳，先后有9个朝代在此建都，历时近千年，故称“九朝古都”。史学家、科学家、文学家云集于洛阳，为中国和世界文化宝库留下了不朽的作品。

几千年来，黄河流域是封建统治的中心，而广大劳动人民反对压迫的斗争也接连不断。秦末的陈胜、吴广，两汉的赤眉、铜马、黄巾，隋末的瓦岗军，唐朝的黄巢、王仙芝，明末的李自成、张献忠等，都在黄河流域这块土地上演出了一幕幕雄壮的史剧。抗日战争和解放战争时期，陕甘宁地区是中国人民可靠的革命根据地，直至伟大的中华人民共和国成立。

在漫长的历史岁月里，伟大的黄河，哺育了中华民族；中华民族的儿女，创造了灿烂的古代文化。我们为黄河自豪，为黄河歌唱。

释名“河”字在秦汉以前基本上是黄河的专称，而河流称为“川”或者“水”（但也有例外，如《山海经》曰：“昆仑山，纵广万里，高万一千里，去蒿山五万里，有青河、白河、赤河、黑河环其墟。”）先秦的文献中找不到黄河一词，成书于汉武帝征和年间的《史记》全篇也不见黄河的说法。据学者李鄂荣考证，黄河一词最早见于东汉班固《汉书·地理志》中“常山郡·元氏县”的释文里。黄河的“黄”字用来描述河水的浑浊，这在古书中也早有记载：战国时期的《左传·襄公八年》郑国的子驷引《逸周诗》说“俟河之清，人寿几何！”；《尔雅·释水》记有“河出昆仑，色白，所渠并千七百一川，色黄。”

黄河上源的星宿海由扎陵湖、鄂陵湖等数量众多的水泊和海子组成，在阳光照耀下星宿海的无数湖沼光彩夺目，如同孔雀开屏，十分美丽壮观，因而当地的藏族居民把这一段黄河称作“玛曲”（rma chu），即“孔雀河”的意思。甘肃省“玛曲”县即以此河段命名。

水文特征

源头

黄河发源于青海巴颜喀拉山脉，但真正源头所在现在依然存有争议。历史上人们对黄河源头的认识有一个过程。

《尚书·禹贡》曾有“导河积石，至于龙门”的记载，“积石”在现今青海省循化撒拉族自治县附近的阿尼玛卿山，离黄河源头还有距离。《山海经》、《尔雅》有河出昆仑的记载。西汉张骞出使西域后，有黄河发源于于阗，东流至盐泽，再潜行地下，南出为河源的说法（见于《史记·大宛列传》）。这些说法都不确切，但却延续到隋唐。

隋唐以后人们逐渐对黄河河源建立了正确的认识。隋炀帝大业五年（609年）灭吐谷浑后置河源郡，即现今青海果洛藏族自治州和海南藏族自治州部分地区，表明人们已知黄河发源于此。唐太宗贞观九年（635年）为平定吐谷浑叛乱，将领李靖、侯君集、李道宗曾率领人马到达星宿海一带，《新唐书》载他们“次星宿川，达柏海上，望积石山，览观河源。”。唐宋以来，长期将星宿海称为黄河源头。

至元代人们开始对对黄河河源进行实地考察。元至元十七年（1280年）元世祖忽必烈派都实等人勘察黄河河源，对星宿海一带作了详细考察。 1315年潘昂霄根据都实的调查写成《河源志》一书，明确指出黄河发源于星宿海西南百余里处，该处有“水从地涌出如井，其井百余”。

清康熙帝四十三年（1704年）康熙帝命拉锡、舒兰探黄河河源。他们到达星宿海，发现星宿海上源还有三条河流，但并未追至源头。拉锡、舒兰归京后绘有《河源图》，舒兰还写有《河源记》。康熙帝末年组织全国性的地形测量，康熙帝五十六年（1717年）派喇嘛楚儿沁藏布、兰木占巴及理藩院主事胜住等人前往河源地区进行测量，此行“逾河源，涉万里”，回京后将测量结果绘入《皇舆全览图》。此次测绘把星宿海以上的河源也勘查和绘制出来。

清乾隆帝四十七年（1782年）乾隆帝命门侍卫阿弥达“恭祭河源”。阿弥达到达星宿海以西300里处，对星宿海上源三条河流进行了实地勘查，认定星宿海西南的阿勒斯坦郭勒河（即今卡日曲）为黄河上源。

19世纪末到20世纪初，西方探险者和地理学家深入青藏高原进行考察活动，他们也曾到达河源地区搜集自然、人文资料，如印度人阿喀，法国人窦脱勒、敖伦，俄国人普尔热瓦尔斯基、士纳可、科兹洛夫，德国人费士勒、台裴尔等。

中华人民共和国成立后，对黄河源头进行了多次考察。1952年，由黄河水利委员会组织，在项立志、董在华率领下，对黄河河源进行了数月勘查。河源勘查队认定约古宗列曲为黄河正源，雅合拉达合泽山是它的源头，鄂陵湖在上，扎陵湖在下。这一结果与前人考察结果不相吻合，在学术界引起争论，但黄河发源于约古宗列曲的说法广为流传。1978年，青海省邀请中央和地方有关科研专业人员，再次对黄河源头和扎陵、鄂陵两湖进行实地勘查，确认卡日曲为黄河正源，扎陵湖在上，鄂陵湖在下。1981年—1982年，学者杨联康徒步考察了黄河全程。他认为黄河最远源流是始于巴颜喀拉山山脊的拉郎情曲，它长于约古宗列曲30.5千米，长于卡日曲11.9千米。1985年，黄河水利委员会根据历史传统和各家意见，确认玛曲为黄河正源，并在约古宗列盆地西南隅的玛曲曲果树立了黄河源标志。

星宿海上源的三条支流分别是扎曲、约古宗列曲和卡日曲。扎曲居于最北部，发源于查哈西拉山，河长70千米，河道窄，支流少，水量有限，一年中大部分时间断流。约古宗列曲位于星宿海西，在三条上源中居中，发源于约古列宗盆地西南隅，海拔4750米，水量甚小，为宽1.0-1.5米，深0.1-0.2米的小溪。南部支流为卡日曲，发源于巴颜喀拉山支脉各姿各雅山的北麓，海拔4800米，有5处泉水从谷中涌出，汇成宽约3米，深0.3-0.5米，流速约3米/秒的一条小河，河流终年有水。约古宗列曲与卡日曲汇合成黄河源头最初的河道玛曲，然后注入星宿海。根据十万分之一航测地图测量，卡日曲比约古列宗曲长25千米。卡日曲流域面积为3126平方千米，约古宗列曲流域面积为2372平方千米。在卡日曲的和古宗列曲汇合处附近，测得卡日曲流量为6.3立方米/秒，测得约古宗列曲流量为2.5立方米/秒。据此1978年的黄河源头考察认定卡日曲为黄河正源。

汛期：黄河每年有两次汛期,大汛是夏季,来水主要是上游的暴雨,汛期可能延续3-4个月。小汛是春季3-4月间,来水主要是上游冰雪融化,为期较短,因为每年都是在桃花开的时候,故又称桃花汛。

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