勾股定理和测量术的来历是什么？

中国古代最早的数学和天文学著作《周髀算经》上记载了一段周公与商高的对话。周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”这是有名的“周公问数”。这段对话用我们今天的话解释是这样的：周公问商高：古代时伏羲是怎样测量天文和历法的？天没有可攀的台阶，地又不能用尺去测量，这些数是从哪儿得出来的呢？商高回答：数是根据圆形和方形的数学道理计算出来的。圆来自于方，而方来自于直角三角形。直角三角形是根据乘除法的计算得出来的。将一条线段折三段围成直角三角形，一直角边(勾)为三，另一直角边(股)为四，则斜边(弦)为五。商高的证明是用右边的图来解释的。利用直角三角形三边的三、四、五的关系可知：方盘面积为49，而四个阴影的三角形的面积之和为24，因此正方形BDLH的面积为49-24＝25，这种证明方法比欧几里得的几何原本中的证明更简明易懂。

勾股数有哪些规律

你觉得数学有趣吗？可能很多孩子不觉得。

数学往往被看成一堆公式、定理的堆积，以勾股定理为例，它将几何与代数很好地联系起来，是我们必学的一个数学知识点，孩子们学到的勾股定理很大概率是这样的：a?+b?=c?，但这就是勾股定理的本质吗？当然不是，如果只这样学，很多孩子可能连a、b、c是什么都不知道。

我们忘记了数学学习中最该了解的三件事：一是数学知识与生活的联系，二是数学知识的来龙去脉，三是数学精神的实质和思想方法。

1 数学与生活有着这样的联系

很多人只知道记住勾股定理的表达式，却不会熟练应用。问题就出在我们不知道勾股定理与生活有什么联系，无法做到真正理解它的精髓。

据说大禹治水，根据地势高低，决定水流走向，就是应用勾股定理的结果。再比如：家装时，工人为了判断一个墙角是否为标准直角，会从墙角向两个墙面量出30cm、40cm并标记在一个点上，然后量这两点间距离是否是50cm，如果存在误差，则说明墙角不是直角，这也是应用勾股定理的结果。

2探求知识的来龙去脉

了解了勾股定理在实际生活中的应用之后，你是不是好奇它的“来历”？勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯之所以能发现这个定理，是因为善于思考生活中的细节，而不是靠待在屋子里面对着课桌，拿着纸和笔冥思苦想。

毕达哥拉斯有一次应邀参加一场聚会，这位主人的豪华宫殿里铺着正方形的大理石地砖，毕达哥拉斯发现以一块地砖的对角线为边画一个正方形，这个正方形的面积恰好等于两块地砖的面积和。他很好奇，于是再以两块地砖拼成的矩形对角线做另一个正方形，他发现这个正方形面积等于五块地砖的面积。

至此毕达哥拉斯做了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边的平方之和。这就是勾股定理的由来。

3数学思想的实质

刚刚我们也说了勾股定理探究的过程，这个过程充分体现了一个重要的数学思想——“数形结合”：把三角形有一个直角的“形”转化到三边之间的“数”。同时还体现了“从特殊到一般的数学思想”，先探求特殊直角三角形三边的关系，再由特殊到一般，探求一般直角三角形三边的关系。还有从探求边到面积的转化等等，无一不体现着数学思想的奥妙。

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我们知道，像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律,下面就让我们分类探究一下:

1、最短边的长度为奇数，观察下表中的勾股数：

根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数具备一定的特征

其中，a=n+(n+1)=2n+1，

b=2n(n+1)=2n2?+2n，

c=2n(n+1)+1= 2n2?+2n+1，

容易验证：

(2n+1)2+(2n2?+2n)2=(2n2?+2n+1)2，

即当最短边的长度为奇数时，勾股数符合上面的规律

2、最短边的长度为偶数时,观察下面表格中的勾股数：

最短边为偶数时，

a=2(n+1)=2n+2，b=n2?+2n，c= n2?+2n+2，

容易验证：

(2n+2)2+(n2?+2n)2=(n2?+2n+2)2，

即当最短边的长度为偶数时，勾股数符合以上规律

1、勾股定理的由来

勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

3、勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。

③可运用勾股定理解决一些实际问题。

勾股定律的来历,历史及相关资料

勾股定理历史：勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。来历：毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦

内容：　如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2　；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。古埃及人用这样的方法画直角

如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）

费马定力：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解

实数：包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。又叫二次方根，对于非负实数来说，是指某个自乘结果等于的实数，表示为〔√￣〕，其中属于非负实数的平方根称算术平方根。

平方根：

最新勾股定理魏氏证法是上世纪70年代数学天才魏德武读小学期间在一次观摩木工师傅制作一把木质楼梯的过程中深受启发，其证法简捷、明了是所有勾股定理证法中无法比拟的首选方法：取四块全等直角三角形边长分别为a、b、c的楼梯脚板分别组成二块全等长方形面积，即：

ab+ad=2ab，然后再将原二块全等长方形面积进行形变，转化成一块大正方形面积减去中间一块小正方形面积；根据前后二块全等长方形面积大小不变的原理，构筑一个等量关系，即：2ab=c^2-(b-a)^2,移项化简得a^2+b^2=.:c^2这样既不要割补也不需求证，,就可轻而易举得到直角三角形三条边的数量关系。古人通常把直角三角形的二条直角边分别说成勾和股，所以魏氏勾股定理因此而得名。

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